Resolver 81x^2-90x+25

$$81 x ^ { 2 } - 90 x + 25$$

Factorizar

$$\left(9x-5\right)^{2}$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 81x^{2}+ax+bx+25. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-90 ab=81\times 25=2025$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 2025.

$$-1,-2025 -3,-675 -5,-405 -9,-225 -15,-135 -25,-81 -27,-75 -45,-45$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-2025=-2026 -3-675=-678 -5-405=-410 -9-225=-234 -15-135=-150 -25-81=-106 -27-75=-102 -45-45=-90$$

A solución é a parella que fornece a suma -90.

$$a=-45 b=-45$$

Reescribe 81x^{2}-90x+25 como \left(81x^{2}-45x\right)+\left(-45x+25\right).

$$\left(81x^{2}-45x\right)+\left(-45x+25\right)$$

Factoriza 9x no primeiro e -5 no grupo segundo.

$$9x\left(9x-5\right)-5\left(9x-5\right)$$

Factoriza o termo común 9x-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(9x-5\right)\left(9x-5\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(9x-5\right)^{2}$$

Pasos que usan cadrado de binomial

Este trinomio ten a forma dun cadrado de trinomio, quizais multiplicado por un factor común. Os cadrados de trinomio pódense factorizar mediante o cálculo das raíces cadradas dos termos primeiro e último.

$$factor(81x^{2}-90x+25)$$

Obtén o máximo común divisor dos coeficientes.

$$gcf(81,-90,25)=1$$

Obtén a raíz cadrada do primeiro termo, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Obtén a raíz cadrada do último termo, 25.

$$\sqrt{25}=5$$

O cadrado de trinomio é o cadrado de binomio que é a suma ou a diferenza das raíces cadradas dos termos primeiro e último, co signo determinado polo signo do termo central do cadrado de trinomio.

$$\left(9x-5\right)^{2}$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}-90x+25=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Eleva -90 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Multiplica -4 por 81.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Multiplica -324 por 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Suma 8100 a -8100.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±0}{2\times 81}$$

O contrario de -90 é 90.

$$x=\frac{90±0}{2\times 81}$$

Multiplica 2 por 81.

$$x=\frac{90±0}{162}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{5}{9} por x_{1} e \frac{5}{9} por x_{2}.

$$81x^{2}-90x+25=81\left(x-\frac{5}{9}\right)\left(x-\frac{5}{9}\right)$$

Resta \frac{5}{9} de x mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$81x^{2}-90x+25=81\times \frac{9x-5}{9}\left(x-\frac{5}{9}\right)$$

Resta \frac{5}{9} de x mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$81x^{2}-90x+25=81\times \frac{9x-5}{9}\times \frac{9x-5}{9}$$

Multiplica \frac{9x-5}{9} por \frac{9x-5}{9} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$81x^{2}-90x+25=81\times \frac{\left(9x-5\right)\left(9x-5\right)}{9\times 9}$$

Multiplica 9 por 9.

$$81x^{2}-90x+25=81\times \frac{\left(9x-5\right)\left(9x-5\right)}{81}$$

Descarta o máximo común divisor 81 en 81 e 81.

$$81x^{2}-90x+25=\left(9x-5\right)\left(9x-5\right)$$

Calcular

$$\left(9x-5\right)^{2}$$