Resolver 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Factorizar

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 81x^{2}+ax+bx+100. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

A solución é a parella que fornece a suma 180.

$$a=90 b=90$$

Reescribe 81x^{2}+180x+100 como \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Factoriza 9x no primeiro e 10 no grupo segundo.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Factoriza o termo común 9x+10 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Pasos que usan cadrado de binomial

Este trinomio ten a forma dun cadrado de trinomio, quizais multiplicado por un factor común. Os cadrados de trinomio pódense factorizar mediante o cálculo das raíces cadradas dos termos primeiro e último.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Obtén o máximo común divisor dos coeficientes.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Obtén a raíz cadrada do primeiro termo, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Obtén a raíz cadrada do último termo, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

O cadrado de trinomio é o cadrado de binomio que é a suma ou a diferenza das raíces cadradas dos termos primeiro e último, co signo determinado polo signo do termo central do cadrado de trinomio.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Eleva 180 ao cadrado.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Multiplica -4 por 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Multiplica -324 por 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Suma 32400 a -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Multiplica 2 por 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe -\frac{10}{9} por x_{1} e -\frac{10}{9} por x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Suma \frac{10}{9} a x mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Suma \frac{10}{9} a x mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Multiplica \frac{9x+10}{9} por \frac{9x+10}{9} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Multiplica 9 por 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Descarta o máximo común divisor 81 en 81 e 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Calcular

$$\left(9x+10\right)^{2}$$