Resolver 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Factorizar

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 81x^{2}+ax+bx+25. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 2025.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

A solución é a parella que fornece a suma 90.

$$a=45 b=45$$

Reescribe 81x^{2}+90x+25 como \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right).

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

Factoriza 9x no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

Factoriza o termo común 9x+5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Pasos que usan cadrado de binomial

Este trinomio ten a forma dun cadrado de trinomio, quizais multiplicado por un factor común. Os cadrados de trinomio pódense factorizar mediante o cálculo das raíces cadradas dos termos primeiro e último.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Obtén o máximo común divisor dos coeficientes.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Obtén a raíz cadrada do primeiro termo, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Obtén a raíz cadrada do último termo, 25.

$$\sqrt{25}=5$$

O cadrado de trinomio é o cadrado de binomio que é a suma ou a diferenza das raíces cadradas dos termos primeiro e último, co signo determinado polo signo do termo central do cadrado de trinomio.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Eleva 90 ao cadrado.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Multiplica -4 por 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Multiplica -324 por 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Suma 8100 a -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

Multiplica 2 por 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe -\frac{5}{9} por x_{1} e -\frac{5}{9} por x_{2}.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Suma \frac{5}{9} a x mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Suma \frac{5}{9} a x mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Multiplica \frac{9x+5}{9} por \frac{9x+5}{9} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

Multiplica 9 por 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

Descarta o máximo común divisor 81 en 81 e 81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Calcular

$$\left(9x+5\right)^{2}$$