Resolver 8x^2-22x+15

$$8 x ^ { 2 } - 22 x + 15$$

Factorizar

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 8x^{2}+ax+bx+15. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-22 ab=8\times 15=120$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

A solución é a parella que fornece a suma -22.

$$a=-12 b=-10$$

Reescribe 8x^{2}-22x+15 como \left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right)$$

Factoriza 4x no primeiro e -5 no grupo segundo.

$$4x\left(2x-3\right)-5\left(2x-3\right)$$

Factoriza o termo común 2x-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-22x+15=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Eleva -22 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Multiplica -4 por 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\times 15}}{2\times 8}$$

Multiplica -32 por 15.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-480}}{2\times 8}$$

Suma 484 a -480.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{4}}{2\times 8}$$

Obtén a raíz cadrada de 4.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±2}{2\times 8}$$

O contrario de -22 é 22.

$$x=\frac{22±2}{2\times 8}$$

Multiplica 2 por 8.

$$x=\frac{22±2}{16}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{22±2}{16} se ± é máis. Suma 22 a 2.

$$x=\frac{24}{16}$$

Reduce a fracción \frac{24}{16} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{22±2}{16} se ± é menos. Resta 2 de 22.

$$x=\frac{20}{16}$$

Reduce a fracción \frac{20}{16} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=\frac{5}{4}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{3}{2} por x_{1} e \frac{5}{4} por x_{2}.

$$8x^{2}-22x+15=8\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Resta \frac{3}{2} de x mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Resta \frac{5}{4} de x mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{4x-5}{4}$$

Multiplica \frac{2x-3}{2} por \frac{4x-5}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{8}$$

Descarta o máximo común divisor 8 en 8 e 8.

$$8x^{2}-22x+15=\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Calcular

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$