Resolver 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Resolver x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 8x^{2}+ax+bx-7. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 10.

$$a=-4 b=14$$

Reescribe 8x^{2}+10x-7 como \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Factoriza 4x no primeiro e 7 no grupo segundo.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Factoriza o termo común 2x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2x-1=0 e 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 8, b por 10 e c por -7 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Eleva 10 ao cadrado.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Multiplica -4 por 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Multiplica -32 por -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Suma 100 a 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Obtén a raíz cadrada de 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Multiplica 2 por 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-10±18}{16} se ± é máis. Suma -10 a 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Reduce a fracción \frac{8}{16} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-10±18}{16} se ± é menos. Resta 18 de -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Reduce a fracción \frac{-28}{16} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Suma 7 en ambos lados da ecuación.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Se restas -7 a si mesmo, quédache 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Resta -7 de 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Divide ambos lados entre 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

A división entre 8 desfai a multiplicación por 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Reduce a fracción \frac{10}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Divide \frac{5}{4}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{5}{8}. Despois, suma o cadrado de \frac{5}{8} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{8} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Suma \frac{7}{8} a \frac{25}{64} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Factoriza x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Resta \frac{5}{8} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$