Resolver 8w^2-41w+5=0

$$8 w ^ { 2 } - 41 w + 5 = 0$$

Resolver w

$$w=\frac{1}{8}=0.125$$

$$w=5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 8w^{2}+aw+bw+5. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-41 ab=8\times 5=40$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

A solución é a parella que fornece a suma -41.

$$a=-40 b=-1$$

Reescribe 8w^{2}-41w+5 como \left(8w^{2}-40w\right)+\left(-w+5\right).

$$\left(8w^{2}-40w\right)+\left(-w+5\right)$$

Factoriza 8w no primeiro e -1 no grupo segundo.

$$8w\left(w-5\right)-\left(w-5\right)$$

Factoriza o termo común w-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(w-5\right)\left(8w-1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve w-5=0 e 8w-1=0.

$$w=5 w=\frac{1}{8}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$8w^{2}-41w+5=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 8, b por -41 e c por 5 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 8\times 5}}{2\times 8}$$

Eleva -41 ao cadrado.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 8\times 5}}{2\times 8}$$

Multiplica -4 por 8.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-32\times 5}}{2\times 8}$$

Multiplica -32 por 5.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-160}}{2\times 8}$$

Suma 1681 a -160.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1521}}{2\times 8}$$

Obtén a raíz cadrada de 1521.

$$w=\frac{-\left(-41\right)±39}{2\times 8}$$

O contrario de -41 é 41.

$$w=\frac{41±39}{2\times 8}$$

Multiplica 2 por 8.

$$w=\frac{41±39}{16}$$

Agora resolve a ecuación w=\frac{41±39}{16} se ± é máis. Suma 41 a 39.

$$w=\frac{80}{16}$$

Divide 80 entre 16.

$$w=5$$

Agora resolve a ecuación w=\frac{41±39}{16} se ± é menos. Resta 39 de 41.

$$w=\frac{2}{16}$$

Reduce a fracción \frac{2}{16} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$w=\frac{1}{8}$$

A ecuación está resolta.

$$w=5 w=\frac{1}{8}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$8w^{2}-41w+5=0$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$8w^{2}-41w+5-5=-5$$

Se restas 5 a si mesmo, quédache 0.

$$8w^{2}-41w=-5$$

Divide ambos lados entre 8.

$$\frac{8w^{2}-41w}{8}=-\frac{5}{8}$$

A división entre 8 desfai a multiplicación por 8.

$$w^{2}-\frac{41}{8}w=-\frac{5}{8}$$

Divide -\frac{41}{8}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{41}{16}. Despois, suma o cadrado de -\frac{41}{16} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$w^{2}-\frac{41}{8}w+\left(-\frac{41}{16}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{41}{16}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{41}{16} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$w^{2}-\frac{41}{8}w+\frac{1681}{256}=-\frac{5}{8}+\frac{1681}{256}$$

Suma -\frac{5}{8} a \frac{1681}{256} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$w^{2}-\frac{41}{8}w+\frac{1681}{256}=\frac{1521}{256}$$

Factoriza w^{2}-\frac{41}{8}w+\frac{1681}{256}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w-\frac{41}{16}\right)^{2}=\frac{1521}{256}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(w-\frac{41}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{256}}$$

Simplifica.

$$w-\frac{41}{16}=\frac{39}{16} w-\frac{41}{16}=-\frac{39}{16}$$

Suma \frac{41}{16} en ambos lados da ecuación.

$$w=5 w=\frac{1}{8}$$