Resolver 8n^2+33n+31=0

$$8 n ^ { 2 } + 33 n + 31 = 0$$

Resolver n

$$n=\frac{\sqrt{97}-33}{16}\approx -1.446946387$$

$$n=\frac{-\sqrt{97}-33}{16}\approx -2.678053613$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$8n^{2}+33n+31=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 8, b por 33 e c por 31 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 8\times 31}}{2\times 8}$$

Eleva 33 ao cadrado.

$$n=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 8\times 31}}{2\times 8}$$

Multiplica -4 por 8.

$$n=\frac{-33±\sqrt{1089-32\times 31}}{2\times 8}$$

Multiplica -32 por 31.

$$n=\frac{-33±\sqrt{1089-992}}{2\times 8}$$

Suma 1089 a -992.

$$n=\frac{-33±\sqrt{97}}{2\times 8}$$

Multiplica 2 por 8.

$$n=\frac{-33±\sqrt{97}}{16}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{-33±\sqrt{97}}{16} se ± é máis. Suma -33 a \sqrt{97}.

$$n=\frac{\sqrt{97}-33}{16}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{-33±\sqrt{97}}{16} se ± é menos. Resta \sqrt{97} de -33.

$$n=\frac{-\sqrt{97}-33}{16}$$

A ecuación está resolta.

$$n=\frac{\sqrt{97}-33}{16} n=\frac{-\sqrt{97}-33}{16}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$8n^{2}+33n+31=0$$

Resta 31 en ambos lados da ecuación.

$$8n^{2}+33n+31-31=-31$$

Se restas 31 a si mesmo, quédache 0.

$$8n^{2}+33n=-31$$

Divide ambos lados entre 8.

$$\frac{8n^{2}+33n}{8}=-\frac{31}{8}$$

A división entre 8 desfai a multiplicación por 8.

$$n^{2}+\frac{33}{8}n=-\frac{31}{8}$$

Divide \frac{33}{8}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{33}{16}. Despois, suma o cadrado de \frac{33}{16} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$n^{2}+\frac{33}{8}n+\left(\frac{33}{16}\right)^{2}=-\frac{31}{8}+\left(\frac{33}{16}\right)^{2}$$

Eleva \frac{33}{16} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$n^{2}+\frac{33}{8}n+\frac{1089}{256}=-\frac{31}{8}+\frac{1089}{256}$$

Suma -\frac{31}{8} a \frac{1089}{256} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$n^{2}+\frac{33}{8}n+\frac{1089}{256}=\frac{97}{256}$$

Factoriza n^{2}+\frac{33}{8}n+\frac{1089}{256}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{33}{16}\right)^{2}=\frac{97}{256}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(n+\frac{33}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{256}}$$

Simplifica.

$$n+\frac{33}{16}=\frac{\sqrt{97}}{16} n+\frac{33}{16}=-\frac{\sqrt{97}}{16}$$

Resta \frac{33}{16} en ambos lados da ecuación.

$$n=\frac{\sqrt{97}-33}{16} n=\frac{-\sqrt{97}-33}{16}$$