Resolver 8x^2-14x-15

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

Factorizar

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 8x^{2}+ax+bx-15. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

A solución é a parella que fornece a suma -14.

$$a=-20 b=6$$

Reescribe 8x^{2}-14x-15 como \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Factoriza 4x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Factoriza o termo común 2x-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Eleva -14 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Multiplica -4 por 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Multiplica -32 por -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Suma 196 a 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Obtén a raíz cadrada de 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

O contrario de -14 é 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Multiplica 2 por 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{14±26}{16} se ± é máis. Suma 14 a 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Reduce a fracción \frac{40}{16} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{14±26}{16} se ± é menos. Resta 26 de 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Reduce a fracción \frac{-12}{16} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{5}{2} por x_{1} e -\frac{3}{4} por x_{2}.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Resta \frac{5}{2} de x mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Suma \frac{3}{4} a x mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Multiplica \frac{2x-5}{2} por \frac{4x+3}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Descarta o máximo común divisor 8 en 8 e 8.

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Calcular

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$