Resolver 77r^2+45r-18

$$77 r ^ { 2 } + 45 r - 18$$

Factorizar

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 77r^{2}+ar+br-18. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=45 ab=77\left(-18\right)=-1386$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -1386.

$$-1,1386 -2,693 -3,462 -6,231 -7,198 -9,154 -11,126 -14,99 -18,77 -21,66 -22,63 -33,42$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+1386=1385 -2+693=691 -3+462=459 -6+231=225 -7+198=191 -9+154=145 -11+126=115 -14+99=85 -18+77=59 -21+66=45 -22+63=41 -33+42=9$$

A solución é a parella que fornece a suma 45.

$$a=-21 b=66$$

Reescribe 77r^{2}+45r-18 como \left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right).

$$\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right)$$

Factoriza 7r no primeiro e 6 no grupo segundo.

$$7r\left(11r-3\right)+6\left(11r-3\right)$$

Factoriza o termo común 11r-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$77r^{2}+45r-18=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$r=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Eleva 45 ao cadrado.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Multiplica -4 por 77.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-308\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Multiplica -308 por -18.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025+5544}}{2\times 77}$$

Suma 2025 a 5544.

$$r=\frac{-45±\sqrt{7569}}{2\times 77}$$

Obtén a raíz cadrada de 7569.

$$r=\frac{-45±87}{2\times 77}$$

Multiplica 2 por 77.

$$r=\frac{-45±87}{154}$$

Agora resolve a ecuación r=\frac{-45±87}{154} se ± é máis. Suma -45 a 87.

$$r=\frac{42}{154}$$

Reduce a fracción \frac{42}{154} a termos máis baixos extraendo e cancelando 14.

$$r=\frac{3}{11}$$

Agora resolve a ecuación r=\frac{-45±87}{154} se ± é menos. Resta 87 de -45.

$$r=-\frac{132}{154}$$

Reduce a fracción \frac{-132}{154} a termos máis baixos extraendo e cancelando 22.

$$r=-\frac{6}{7}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{3}{11} por x_{1} e -\frac{6}{7} por x_{2}.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Resta \frac{3}{11} de r mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Suma \frac{6}{7} a r mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\times \frac{7r+6}{7}$$

Multiplica \frac{11r-3}{11} por \frac{7r+6}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{11\times 7}$$

Multiplica 11 por 7.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{77}$$

Descarta o máximo común divisor 77 en 77 e 77.

$$77r^{2}+45r-18=\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Calcular

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$