Resolver 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Resolver x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Divide ambos lados entre 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 15x^{2}+ax+bx-2. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 7.

$$a=-3 b=10$$

Reescribe 15x^{2}+7x-2 como \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e 2 no grupo segundo.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Factoriza o termo común 5x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 5x-1=0 e 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 75, b por 35 e c por -10 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Eleva 35 ao cadrado.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multiplica -4 por 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multiplica -300 por -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Suma 1225 a 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Obtén a raíz cadrada de 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Multiplica 2 por 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-35±65}{150} se ± é máis. Suma -35 a 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Reduce a fracción \frac{30}{150} a termos máis baixos extraendo e cancelando 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-35±65}{150} se ± é menos. Resta 65 de -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Reduce a fracción \frac{-100}{150} a termos máis baixos extraendo e cancelando 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Se restas -10 a si mesmo, quédache 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Resta -10 de 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Divide ambos lados entre 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

A división entre 75 desfai a multiplicación por 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Reduce a fracción \frac{35}{75} a termos máis baixos extraendo e cancelando 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Reduce a fracción \frac{10}{75} a termos máis baixos extraendo e cancelando 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Divide \frac{7}{15}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{7}{30}. Despois, suma o cadrado de \frac{7}{30} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{30} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Suma \frac{2}{15} a \frac{49}{900} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Factoriza x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Resta \frac{7}{30} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$