Resolver 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Resolver x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1.689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0.655172414$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x-15y-2=0$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$7x-15y=2$$

Suma 15y en ambos lados da ecuación.

$$7x=15y+2$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Substitúe x por \frac{15y+2}{7} na outra ecuación, x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Suma \frac{15y}{7} a 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Resta \frac{2}{7} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{29}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{19}{29}$$

Substitúe y por \frac{19}{29} en x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Multiplica \frac{15}{7} por \frac{19}{29} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Suma \frac{2}{7} a \frac{285}{203} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{49}{29}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Para que 7x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Simplifica.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Resta 7x+14y=21 de 7x-15y-2=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Suma 7x a -7x. 7x e -7x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-15y-14y-2=-21$$

Suma -15y a -14y.

$$-29y-2=-21$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$-29y=-19$$

Divide ambos lados entre -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Substitúe y por \frac{19}{29} en x+2y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Multiplica 2 por \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Resta \frac{38}{29} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{49}{29}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$