Resolver 7x^2+27x-40=0

$$7 { x }^{ 2 } +27x-40=0$$

Resolver x

$$x=-5$$

$$x = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \approx 1.142857143$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 7x^{2}+ax+bx-40. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=27 ab=7\left(-40\right)=-280$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -280.

$$-1,280 -2,140 -4,70 -5,56 -7,40 -8,35 -10,28 -14,20$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+280=279 -2+140=138 -4+70=66 -5+56=51 -7+40=33 -8+35=27 -10+28=18 -14+20=6$$

A solución é a parella que fornece a suma 27.

$$a=-8 b=35$$

Reescribe 7x^{2}+27x-40 como \left(7x^{2}-8x\right)+\left(35x-40\right).

$$\left(7x^{2}-8x\right)+\left(35x-40\right)$$

Factoriza x no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$x\left(7x-8\right)+5\left(7x-8\right)$$

Factoriza o termo común 7x-8 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(7x-8\right)\left(x+5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 7x-8=0 e x+5=0.

$$x=\frac{8}{7} x=-5$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$7x^{2}+27x-40=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 7, b por 27 e c por -40 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 7\left(-40\right)}}{2\times 7}$$

Eleva 27 ao cadrado.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 7\left(-40\right)}}{2\times 7}$$

Multiplica -4 por 7.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-28\left(-40\right)}}{2\times 7}$$

Multiplica -28 por -40.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729+1120}}{2\times 7}$$

Suma 729 a 1120.

$$x=\frac{-27±\sqrt{1849}}{2\times 7}$$

Obtén a raíz cadrada de 1849.

$$x=\frac{-27±43}{2\times 7}$$

Multiplica 2 por 7.

$$x=\frac{-27±43}{14}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-27±43}{14} se ± é máis. Suma -27 a 43.

$$x=\frac{16}{14}$$

Reduce a fracción \frac{16}{14} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{8}{7}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-27±43}{14} se ± é menos. Resta 43 de -27.

$$x=-\frac{70}{14}$$

Divide -70 entre 14.

$$x=-5$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{8}{7} x=-5$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+27x-40=0$$

Suma 40 en ambos lados da ecuación.

$$7x^{2}+27x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Se restas -40 a si mesmo, quédache 0.

$$7x^{2}+27x=-\left(-40\right)$$

Resta -40 de 0.

$$7x^{2}+27x=40$$

Divide ambos lados entre 7.

$$\frac{7x^{2}+27x}{7}=\frac{40}{7}$$

A división entre 7 desfai a multiplicación por 7.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x=\frac{40}{7}$$

Divide \frac{27}{7}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{27}{14}. Despois, suma o cadrado de \frac{27}{14} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\left(\frac{27}{14}\right)^{2}=\frac{40}{7}+\left(\frac{27}{14}\right)^{2}$$

Eleva \frac{27}{14} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}=\frac{40}{7}+\frac{729}{196}$$

Suma \frac{40}{7} a \frac{729}{196} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}=\frac{1849}{196}$$

Factoriza x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{27}{14}\right)^{2}=\frac{1849}{196}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{27}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1849}{196}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{27}{14}=\frac{43}{14} x+\frac{27}{14}=-\frac{43}{14}$$

Resta \frac{27}{14} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{8}{7} x=-5$$