Resolver 64v^2+48v+9

$$64 v ^ { 2 } + 48 v + 9$$

Factorizar

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 64v^{2}+av+bv+9. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=48 ab=64\times 9=576$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 576.

$$1,576 2,288 3,192 4,144 6,96 8,72 9,64 12,48 16,36 18,32 24,24$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+576=577 2+288=290 3+192=195 4+144=148 6+96=102 8+72=80 9+64=73 12+48=60 16+36=52 18+32=50 24+24=48$$

A solución é a parella que fornece a suma 48.

$$a=24 b=24$$

Reescribe 64v^{2}+48v+9 como \left(64v^{2}+24v\right)+\left(24v+9\right).

$$\left(64v^{2}+24v\right)+\left(24v+9\right)$$

Factoriza 8v no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$8v\left(8v+3\right)+3\left(8v+3\right)$$

Factoriza o termo común 8v+3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Pasos que usan cadrado de binomial

Este trinomio ten a forma dun cadrado de trinomio, quizais multiplicado por un factor común. Os cadrados de trinomio pódense factorizar mediante o cálculo das raíces cadradas dos termos primeiro e último.

$$factor(64v^{2}+48v+9)$$

Obtén o máximo común divisor dos coeficientes.

$$gcf(64,48,9)=1$$

Obtén a raíz cadrada do primeiro termo, 64v^{2}.

$$\sqrt{64v^{2}}=8v$$

Obtén a raíz cadrada do último termo, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

O cadrado de trinomio é o cadrado de binomio que é a suma ou a diferenza das raíces cadradas dos termos primeiro e último, co signo determinado polo signo do termo central do cadrado de trinomio.

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$64v^{2}+48v+9=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$v=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 64\times 9}}{2\times 64}$$

Eleva 48 ao cadrado.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 64\times 9}}{2\times 64}$$

Multiplica -4 por 64.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-256\times 9}}{2\times 64}$$

Multiplica -256 por 9.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-2304}}{2\times 64}$$

Suma 2304 a -2304.

$$v=\frac{-48±\sqrt{0}}{2\times 64}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$v=\frac{-48±0}{2\times 64}$$

Multiplica 2 por 64.

$$v=\frac{-48±0}{128}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe -\frac{3}{8} por x_{1} e -\frac{3}{8} por x_{2}.

$$64v^{2}+48v+9=64\left(v-\left(-\frac{3}{8}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{3}{8}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$64v^{2}+48v+9=64\left(v+\frac{3}{8}\right)\left(v+\frac{3}{8}\right)$$

Suma \frac{3}{8} a v mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{8v+3}{8}\left(v+\frac{3}{8}\right)$$

Suma \frac{3}{8} a v mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{8v+3}{8}\times \frac{8v+3}{8}$$

Multiplica \frac{8v+3}{8} por \frac{8v+3}{8} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)}{8\times 8}$$

Multiplica 8 por 8.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)}{64}$$

Descarta o máximo común divisor 64 en 64 e 64.

$$64v^{2}+48v+9=\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)$$

Calcular

$$\left(8v+3\right)^{2}$$