Resolver 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Resolver x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 15 en ambos lados.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 6x^{2}+ax+bx-15. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -1.

$$a=-10 b=9$$

Reescribe 6x^{2}-x-15 como \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Factoriza o termo común 3x-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 3x-5=0 e 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$6x^{2}-x=15$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Se restas 15 a si mesmo, quédache 0.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 6, b por -1 e c por -15 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Multiplica -4 por 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Multiplica -24 por -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Suma 1 a 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Obtén a raíz cadrada de 361.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

O contrario de -1 é 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Multiplica 2 por 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{1±19}{12} se ± é máis. Suma 1 a 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Reduce a fracción \frac{20}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{1±19}{12} se ± é menos. Resta 19 de 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Reduce a fracción \frac{-18}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=15$$

Divide ambos lados entre 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

A división entre 6 desfai a multiplicación por 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Reduce a fracción \frac{15}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Divide -\frac{1}{6}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{12}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{12} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{12} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Suma \frac{5}{2} a \frac{1}{144} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Factoriza x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Suma \frac{1}{12} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$