Resolver 6x^2-9x-60=0

$$6 x ^ { 2 } - 9 x - 60 = 0$$

Resolver x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=4$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Divide ambos lados entre 3.

$$2x^{2}-3x-20=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2x^{2}+ax+bx-20. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

A solución é a parella que fornece a suma -3.

$$a=-8 b=5$$

Reescribe 2x^{2}-3x-20 como \left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$2x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

Factoriza o termo común x-4 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-4=0 e 2x+5=0.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 6, b por -9 e c por -60 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Eleva -9 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Multiplica -4 por 6.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-24\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Multiplica -24 por -60.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1440}}{2\times 6}$$

Suma 81 a 1440.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1521}}{2\times 6}$$

Obtén a raíz cadrada de 1521.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±39}{2\times 6}$$

O contrario de -9 é 9.

$$x=\frac{9±39}{2\times 6}$$

Multiplica 2 por 6.

$$x=\frac{9±39}{12}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{9±39}{12} se ± é máis. Suma 9 a 39.

$$x=\frac{48}{12}$$

Divide 48 entre 12.

$$x=4$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{9±39}{12} se ± é menos. Resta 39 de 9.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Reduce a fracción \frac{-30}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Suma 60 en ambos lados da ecuación.

$$6x^{2}-9x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Se restas -60 a si mesmo, quédache 0.

$$6x^{2}-9x=-\left(-60\right)$$

Resta -60 de 0.

$$6x^{2}-9x=60$$

Divide ambos lados entre 6.

$$\frac{6x^{2}-9x}{6}=\frac{60}{6}$$

A división entre 6 desfai a multiplicación por 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{6}\right)x=\frac{60}{6}$$

Reduce a fracción \frac{-9}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{60}{6}$$

Divide 60 entre 6.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=10$$

Divide -\frac{3}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{3}{4}. Despois, suma o cadrado de -\frac{3}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Suma 10 a \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Factoriza x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Suma \frac{3}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$