Resolver 6t^2+35t=49

$$6 t ^ { 2 } + 35 t = 49$$

Resolver t

$$t=-7$$

$$t = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 49 en ambos lados.

$$6t^{2}+35t-49=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 6t^{2}+at+bt-49. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=35 ab=6\left(-49\right)=-294$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -294.

$$-1,294 -2,147 -3,98 -6,49 -7,42 -14,21$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+294=293 -2+147=145 -3+98=95 -6+49=43 -7+42=35 -14+21=7$$

A solución é a parella que fornece a suma 35.

$$a=-7 b=42$$

Reescribe 6t^{2}+35t-49 como \left(6t^{2}-7t\right)+\left(42t-49\right).

$$\left(6t^{2}-7t\right)+\left(42t-49\right)$$

Factoriza t no primeiro e 7 no grupo segundo.

$$t\left(6t-7\right)+7\left(6t-7\right)$$

Factoriza o termo común 6t-7 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(6t-7\right)\left(t+7\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 6t-7=0 e t+7=0.

$$t=\frac{7}{6} t=-7$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$6t^{2}+35t=49$$

Resta 49 en ambos lados da ecuación.

$$6t^{2}+35t-49=49-49$$

Se restas 49 a si mesmo, quédache 0.

$$6t^{2}+35t-49=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 6, b por 35 e c por -49 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 6\left(-49\right)}}{2\times 6}$$

Eleva 35 ao cadrado.

$$t=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 6\left(-49\right)}}{2\times 6}$$

Multiplica -4 por 6.

$$t=\frac{-35±\sqrt{1225-24\left(-49\right)}}{2\times 6}$$

Multiplica -24 por -49.

$$t=\frac{-35±\sqrt{1225+1176}}{2\times 6}$$

Suma 1225 a 1176.

$$t=\frac{-35±\sqrt{2401}}{2\times 6}$$

Obtén a raíz cadrada de 2401.

$$t=\frac{-35±49}{2\times 6}$$

Multiplica 2 por 6.

$$t=\frac{-35±49}{12}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{-35±49}{12} se ± é máis. Suma -35 a 49.

$$t=\frac{14}{12}$$

Reduce a fracción \frac{14}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$t=\frac{7}{6}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{-35±49}{12} se ± é menos. Resta 49 de -35.

$$t=-\frac{84}{12}$$

Divide -84 entre 12.

$$t=-7$$

A ecuación está resolta.

$$t=\frac{7}{6} t=-7$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$6t^{2}+35t=49$$

Divide ambos lados entre 6.

$$\frac{6t^{2}+35t}{6}=\frac{49}{6}$$

A división entre 6 desfai a multiplicación por 6.

$$t^{2}+\frac{35}{6}t=\frac{49}{6}$$

Divide \frac{35}{6}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{35}{12}. Despois, suma o cadrado de \frac{35}{12} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$t^{2}+\frac{35}{6}t+\left(\frac{35}{12}\right)^{2}=\frac{49}{6}+\left(\frac{35}{12}\right)^{2}$$

Eleva \frac{35}{12} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$t^{2}+\frac{35}{6}t+\frac{1225}{144}=\frac{49}{6}+\frac{1225}{144}$$

Suma \frac{49}{6} a \frac{1225}{144} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$t^{2}+\frac{35}{6}t+\frac{1225}{144}=\frac{2401}{144}$$

Factoriza t^{2}+\frac{35}{6}t+\frac{1225}{144}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{35}{12}\right)^{2}=\frac{2401}{144}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(t+\frac{35}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{144}}$$

Simplifica.

$$t+\frac{35}{12}=\frac{49}{12} t+\frac{35}{12}=-\frac{49}{12}$$

Resta \frac{35}{12} en ambos lados da ecuación.

$$t=\frac{7}{6} t=-7$$