Resolver 6a^2+51a=-63

$$6 a ^ { 2 } + 51 a = - 63$$

Resolver a

$$a=-7$$

$$a = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Engadir 63 en ambos lados.

$$6a^{2}+51a+63=0$$

Divide ambos lados entre 3.

$$2a^{2}+17a+21=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2a^{2}+aa+ba+21. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=17 ab=2\times 21=42$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 42.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

A solución é a parella que fornece a suma 17.

$$a=3 b=14$$

Reescribe 2a^{2}+17a+21 como \left(2a^{2}+3a\right)+\left(14a+21\right).

$$\left(2a^{2}+3a\right)+\left(14a+21\right)$$

Factoriza a no primeiro e 7 no grupo segundo.

$$a\left(2a+3\right)+7\left(2a+3\right)$$

Factoriza o termo común 2a+3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2a+3\right)\left(a+7\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2a+3=0 e a+7=0.

$$a=-\frac{3}{2} a=-7$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$6a^{2}+51a=-63$$

Suma 63 en ambos lados da ecuación.

$$6a^{2}+51a-\left(-63\right)=-63-\left(-63\right)$$

Se restas -63 a si mesmo, quédache 0.

$$6a^{2}+51a-\left(-63\right)=0$$

Resta -63 de 0.

$$6a^{2}+51a+63=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 6, b por 51 e c por 63 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\times 6\times 63}}{2\times 6}$$

Eleva 51 ao cadrado.

$$a=\frac{-51±\sqrt{2601-4\times 6\times 63}}{2\times 6}$$

Multiplica -4 por 6.

$$a=\frac{-51±\sqrt{2601-24\times 63}}{2\times 6}$$

Multiplica -24 por 63.

$$a=\frac{-51±\sqrt{2601-1512}}{2\times 6}$$

Suma 2601 a -1512.

$$a=\frac{-51±\sqrt{1089}}{2\times 6}$$

Obtén a raíz cadrada de 1089.

$$a=\frac{-51±33}{2\times 6}$$

Multiplica 2 por 6.

$$a=\frac{-51±33}{12}$$

Agora resolve a ecuación a=\frac{-51±33}{12} se ± é máis. Suma -51 a 33.

$$a=-\frac{18}{12}$$

Reduce a fracción \frac{-18}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$a=-\frac{3}{2}$$

Agora resolve a ecuación a=\frac{-51±33}{12} se ± é menos. Resta 33 de -51.

$$a=-\frac{84}{12}$$

Divide -84 entre 12.

$$a=-7$$

A ecuación está resolta.

$$a=-\frac{3}{2} a=-7$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$6a^{2}+51a=-63$$

Divide ambos lados entre 6.

$$\frac{6a^{2}+51a}{6}=-\frac{63}{6}$$

A división entre 6 desfai a multiplicación por 6.

$$a^{2}+\frac{51}{6}a=-\frac{63}{6}$$

Reduce a fracción \frac{51}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$a^{2}+\frac{17}{2}a=-\frac{63}{6}$$

Reduce a fracción \frac{-63}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$a^{2}+\frac{17}{2}a=-\frac{21}{2}$$

Divide \frac{17}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{17}{4}. Despois, suma o cadrado de \frac{17}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$a^{2}+\frac{17}{2}a+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{17}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$a^{2}+\frac{17}{2}a+\frac{289}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{289}{16}$$

Suma -\frac{21}{2} a \frac{289}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a^{2}+\frac{17}{2}a+\frac{289}{16}=\frac{121}{16}$$

Factoriza a^{2}+\frac{17}{2}a+\frac{289}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(a+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Simplifica.

$$a+\frac{17}{4}=\frac{11}{4} a+\frac{17}{4}=-\frac{11}{4}$$

Resta \frac{17}{4} en ambos lados da ecuación.

$$a=-\frac{3}{2} a=-7$$