Resolver 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Resolver x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 6x^{2}+ax+bx-5. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 7.

$$a=-3 b=10$$

Reescribe 6x^{2}+7x-5 como \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Factoriza o termo común 2x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2x-1=0 e 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 6, b por 7 e c por -5 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Eleva 7 ao cadrado.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multiplica -4 por 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multiplica -24 por -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Suma 49 a 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Obtén a raíz cadrada de 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Multiplica 2 por 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-7±13}{12} se ± é máis. Suma -7 a 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Reduce a fracción \frac{6}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-7±13}{12} se ± é menos. Resta 13 de -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Reduce a fracción \frac{-20}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Se restas -5 a si mesmo, quédache 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Resta -5 de 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Divide ambos lados entre 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

A división entre 6 desfai a multiplicación por 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Divide \frac{7}{6}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{7}{12}. Despois, suma o cadrado de \frac{7}{12} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{12} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Suma \frac{5}{6} a \frac{49}{144} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Factoriza x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Resta \frac{7}{12} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$