Resolver 6x^2+7x-20=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-20=0$$

Resolver x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 6x^{2}+ax+bx-20. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=7 ab=6\left(-20\right)=-120$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

A solución é a parella que fornece a suma 7.

$$a=-8 b=15$$

Reescribe 6x^{2}+7x-20 como \left(6x^{2}-8x\right)+\left(15x-20\right).

$$\left(6x^{2}-8x\right)+\left(15x-20\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$2x\left(3x-4\right)+5\left(3x-4\right)$$

Factoriza o termo común 3x-4 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 3x-4=0 e 2x+5=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$6x^{2}+7x-20=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 6, b por 7 e c por -20 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Eleva 7 ao cadrado.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Multiplica -4 por 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Multiplica -24 por -20.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 6}$$

Suma 49 a 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Obtén a raíz cadrada de 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 6}$$

Multiplica 2 por 6.

$$x=\frac{-7±23}{12}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-7±23}{12} se ± é máis. Suma -7 a 23.

$$x=\frac{16}{12}$$

Reduce a fracción \frac{16}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=\frac{4}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-7±23}{12} se ± é menos. Resta 23 de -7.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Reduce a fracción \frac{-30}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-20=0$$

Suma 20 en ambos lados da ecuación.

$$6x^{2}+7x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Se restas -20 a si mesmo, quédache 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-20\right)$$

Resta -20 de 0.

$$6x^{2}+7x=20$$

Divide ambos lados entre 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{20}{6}$$

A división entre 6 desfai a multiplicación por 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{20}{6}$$

Reduce a fracción \frac{20}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{10}{3}$$

Divide \frac{7}{6}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{7}{12}. Despois, suma o cadrado de \frac{7}{12} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{12} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{10}{3}+\frac{49}{144}$$

Suma \frac{10}{3} a \frac{49}{144} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{529}{144}$$

Factoriza x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{23}{12}$$

Resta \frac{7}{12} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{5}{2}$$