Resolver 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

Resolver x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 6x^{2}+ax+bx+3. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

A solución é a parella que fornece a suma 11.

$$a=2 b=9$$

Reescribe 6x^{2}+11x+3 como \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Factoriza o termo común 3x+1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 3x+1=0 e 2x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 6, b por 11 e c por 3 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Eleva 11 ao cadrado.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Multiplica -4 por 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

Multiplica -24 por 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

Suma 121 a -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Obtén a raíz cadrada de 49.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

Multiplica 2 por 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-11±7}{12} se ± é máis. Suma -11 a 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Reduce a fracción \frac{-4}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-11±7}{12} se ± é menos. Resta 7 de -11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Reduce a fracción \frac{-18}{12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

Se restas 3 a si mesmo, quédache 0.

$$6x^{2}+11x=-3$$

Divide ambos lados entre 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

A división entre 6 desfai a multiplicación por 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

Reduce a fracción \frac{-3}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

Divide \frac{11}{6}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{11}{12}. Despois, suma o cadrado de \frac{11}{12} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Eleva \frac{11}{12} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Suma -\frac{1}{2} a \frac{121}{144} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

Factoriza x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

Resta \frac{11}{12} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$