Resolver 561=2n^2-n

$$561 = 2 n ^ { 2 } - n$$

Resolver n

$$n = -\frac{33}{2} = -16\frac{1}{2} = -16.5$$

$$n=17$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$2n^{2}-n=561$$

Resta 561 en ambos lados.

$$2n^{2}-n-561=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2n^{2}+an+bn-561. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-1 ab=2\left(-561\right)=-1122$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -1122.

$$1,-1122 2,-561 3,-374 6,-187 11,-102 17,-66 22,-51 33,-34$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-1122=-1121 2-561=-559 3-374=-371 6-187=-181 11-102=-91 17-66=-49 22-51=-29 33-34=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -1.

$$a=-34 b=33$$

Reescribe 2n^{2}-n-561 como \left(2n^{2}-34n\right)+\left(33n-561\right).

$$\left(2n^{2}-34n\right)+\left(33n-561\right)$$

Factoriza 2n no primeiro e 33 no grupo segundo.

$$2n\left(n-17\right)+33\left(n-17\right)$$

Factoriza o termo común n-17 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(n-17\right)\left(2n+33\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve n-17=0 e 2n+33=0.

$$n=17 n=-\frac{33}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$2n^{2}-n=561$$

Resta 561 en ambos lados.

$$2n^{2}-n-561=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por -1 e c por -561 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-561\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-561\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por -561.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4488}}{2\times 2}$$

Suma 1 a 4488.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{4489}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 4489.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±67}{2\times 2}$$

O contrario de -1 é 1.

$$n=\frac{1±67}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$n=\frac{1±67}{4}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{1±67}{4} se ± é máis. Suma 1 a 67.

$$n=\frac{68}{4}$$

Divide 68 entre 4.

$$n=17$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{1±67}{4} se ± é menos. Resta 67 de 1.

$$n=-\frac{66}{4}$$

Reduce a fracción \frac{-66}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$n=-\frac{33}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$n=17 n=-\frac{33}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$2n^{2}-n=561$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2n^{2}-n}{2}=\frac{561}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$n^{2}-\frac{1}{2}n=\frac{561}{2}$$

Divide -\frac{1}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{4}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$n^{2}-\frac{1}{2}n+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{561}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$n^{2}-\frac{1}{2}n+\frac{1}{16}=\frac{561}{2}+\frac{1}{16}$$

Suma \frac{561}{2} a \frac{1}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$n^{2}-\frac{1}{2}n+\frac{1}{16}=\frac{4489}{16}$$

Factoriza n^{2}-\frac{1}{2}n+\frac{1}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{4489}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{16}}$$

Simplifica.

$$n-\frac{1}{4}=\frac{67}{4} n-\frac{1}{4}=-\frac{67}{4}$$

Suma \frac{1}{4} en ambos lados da ecuación.

$$n=17 n=-\frac{33}{2}$$