Resolver 52z^2-43z+3

$$52 z ^ { 2 } - 43 z + 3$$

Factorizar

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 52z^{2}+az+bz+3. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-43 ab=52\times 3=156$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 156.

$$-1,-156 -2,-78 -3,-52 -4,-39 -6,-26 -12,-13$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-156=-157 -2-78=-80 -3-52=-55 -4-39=-43 -6-26=-32 -12-13=-25$$

A solución é a parella que fornece a suma -43.

$$a=-39 b=-4$$

Reescribe 52z^{2}-43z+3 como \left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right).

$$\left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right)$$

Factoriza 13z no primeiro e -1 no grupo segundo.

$$13z\left(4z-3\right)-\left(4z-3\right)$$

Factoriza o termo común 4z-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$52z^{2}-43z+3=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Eleva -43 ao cadrado.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Multiplica -4 por 52.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-208\times 3}}{2\times 52}$$

Multiplica -208 por 3.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-624}}{2\times 52}$$

Suma 1849 a -624.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1225}}{2\times 52}$$

Obtén a raíz cadrada de 1225.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±35}{2\times 52}$$

O contrario de -43 é 43.

$$z=\frac{43±35}{2\times 52}$$

Multiplica 2 por 52.

$$z=\frac{43±35}{104}$$

Agora resolve a ecuación z=\frac{43±35}{104} se ± é máis. Suma 43 a 35.

$$z=\frac{78}{104}$$

Reduce a fracción \frac{78}{104} a termos máis baixos extraendo e cancelando 26.

$$z=\frac{3}{4}$$

Agora resolve a ecuación z=\frac{43±35}{104} se ± é menos. Resta 35 de 43.

$$z=\frac{8}{104}$$

Reduce a fracción \frac{8}{104} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$z=\frac{1}{13}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{3}{4} por x_{1} e \frac{1}{13} por x_{2}.

$$52z^{2}-43z+3=52\left(z-\frac{3}{4}\right)\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Resta \frac{3}{4} de z mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Resta \frac{1}{13} de z mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\times \frac{13z-1}{13}$$

Multiplica \frac{4z-3}{4} por \frac{13z-1}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{4\times 13}$$

Multiplica 4 por 13.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{52}$$

Descarta o máximo común divisor 52 en 52 e 52.

$$52z^{2}-43z+3=\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Calcular

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$