Resolver 50p-25p^2=9

$$50 p - 25 p ^ { 2 } = 9$$

Resolver p

$$p=\frac{1}{5}=0.2$$

$$p = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 9 en ambos lados.

$$50p-25p^{2}-9=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-25p^{2}+50p-9=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -25p^{2}+ap+bp-9. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=50 ab=-25\left(-9\right)=225$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 225.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

A solución é a parella que fornece a suma 50.

$$a=45 b=5$$

Reescribe -25p^{2}+50p-9 como \left(-25p^{2}+45p\right)+\left(5p-9\right).

$$\left(-25p^{2}+45p\right)+\left(5p-9\right)$$

Factorizar -5p en -25p^{2}+45p.

$$-5p\left(5p-9\right)+5p-9$$

Factoriza o termo común 5p-9 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(5p-9\right)\left(-5p+1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 5p-9=0 e -5p+1=0.

$$p=\frac{9}{5} p=\frac{1}{5}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-25p^{2}+50p=9$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$-25p^{2}+50p-9=9-9$$

Se restas 9 a si mesmo, quédache 0.

$$-25p^{2}+50p-9=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -25, b por 50 e c por -9 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-25\right)\left(-9\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Eleva 50 ao cadrado.

$$p=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-25\right)\left(-9\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Multiplica -4 por -25.

$$p=\frac{-50±\sqrt{2500+100\left(-9\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Multiplica 100 por -9.

$$p=\frac{-50±\sqrt{2500-900}}{2\left(-25\right)}$$

Suma 2500 a -900.

$$p=\frac{-50±\sqrt{1600}}{2\left(-25\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 1600.

$$p=\frac{-50±40}{2\left(-25\right)}$$

Multiplica 2 por -25.

$$p=\frac{-50±40}{-50}$$

Agora resolve a ecuación p=\frac{-50±40}{-50} se ± é máis. Suma -50 a 40.

$$p=-\frac{10}{-50}$$

Reduce a fracción \frac{-10}{-50} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$p=\frac{1}{5}$$

Agora resolve a ecuación p=\frac{-50±40}{-50} se ± é menos. Resta 40 de -50.

$$p=-\frac{90}{-50}$$

Reduce a fracción \frac{-90}{-50} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$p=\frac{9}{5}$$

A ecuación está resolta.

$$p=\frac{1}{5} p=\frac{9}{5}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-25p^{2}+50p=9$$

Divide ambos lados entre -25.

$$\frac{-25p^{2}+50p}{-25}=\frac{9}{-25}$$

A división entre -25 desfai a multiplicación por -25.

$$p^{2}+\frac{50}{-25}p=\frac{9}{-25}$$

Divide 50 entre -25.

$$p^{2}-2p=\frac{9}{-25}$$

Divide 9 entre -25.

$$p^{2}-2p=-\frac{9}{25}$$

Divide -2, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -1. Despois, suma o cadrado de -1 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$p^{2}-2p+1=-\frac{9}{25}+1$$

Suma -\frac{9}{25} a 1.

$$p^{2}-2p+1=\frac{16}{25}$$

Factoriza p^{2}-2p+1. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-1\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(p-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Simplifica.

$$p-1=\frac{4}{5} p-1=-\frac{4}{5}$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$p=\frac{9}{5} p=\frac{1}{5}$$