Resolver 5y+9y^2-4y^2+6(5y+9)y=-12

$$5 y + 9 y ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } + 6 ( 5 y + 9 ) y = - 12$$

Resolver y

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70}\approx -0.236597281$$

$$y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}\approx -1.449117005$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Combina 9y^{2} e -4y^{2} para obter 5y^{2}.

$$5y+5y^{2}+6\left(5y+9\right)y=-12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 6 por 5y+9.

$$5y+5y^{2}+\left(30y+54\right)y=-12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 30y+54 por y.

$$5y+5y^{2}+30y^{2}+54y=-12$$

Combina 5y^{2} e 30y^{2} para obter 35y^{2}.

$$5y+35y^{2}+54y=-12$$

Combina 5y e 54y para obter 59y.

$$59y+35y^{2}=-12$$

Engadir 12 en ambos lados.

$$59y+35y^{2}+12=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$35y^{2}+59y+12=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 35, b por 59 e c por 12 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 35\times 12}}{2\times 35}$$

Eleva 59 ao cadrado.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 35\times 12}}{2\times 35}$$

Multiplica -4 por 35.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-140\times 12}}{2\times 35}$$

Multiplica -140 por 12.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-1680}}{2\times 35}$$

Suma 3481 a -1680.

$$y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{2\times 35}$$

Multiplica 2 por 35.

$$y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70} se ± é máis. Suma -59 a \sqrt{1801}.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70} se ± é menos. Resta \sqrt{1801} de -59.

$$y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$

A ecuación está resolta.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70} y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$

Pasos para completar o cadrado

Combina 9y^{2} e -4y^{2} para obter 5y^{2}.

$$5y+5y^{2}+6\left(5y+9\right)y=-12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 6 por 5y+9.

$$5y+5y^{2}+\left(30y+54\right)y=-12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 30y+54 por y.

$$5y+5y^{2}+30y^{2}+54y=-12$$

Combina 5y^{2} e 30y^{2} para obter 35y^{2}.

$$5y+35y^{2}+54y=-12$$

Combina 5y e 54y para obter 59y.

$$59y+35y^{2}=-12$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$35y^{2}+59y=-12$$

Divide ambos lados entre 35.

$$\frac{35y^{2}+59y}{35}=-\frac{12}{35}$$

A división entre 35 desfai a multiplicación por 35.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y=-\frac{12}{35}$$

Divide \frac{59}{35}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{59}{70}. Despois, suma o cadrado de \frac{59}{70} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\left(\frac{59}{70}\right)^{2}=-\frac{12}{35}+\left(\frac{59}{70}\right)^{2}$$

Eleva \frac{59}{70} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}=-\frac{12}{35}+\frac{3481}{4900}$$

Suma -\frac{12}{35} a \frac{3481}{4900} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}=\frac{1801}{4900}$$

Factoriza y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{59}{70}\right)^{2}=\frac{1801}{4900}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(y+\frac{59}{70}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1801}{4900}}$$

Simplifica.

$$y+\frac{59}{70}=\frac{\sqrt{1801}}{70} y+\frac{59}{70}=-\frac{\sqrt{1801}}{70}$$

Resta \frac{59}{70} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70} y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$