Resolver 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

Resolver x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$x=3$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 24 en ambos lados.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 5x^{2}+ax+bx-24. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

A solución é a parella que fornece a suma -7.

$$a=-15 b=8$$

Reescribe 5x^{2}-7x-24 como \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

Factoriza 5x no primeiro e 8 no grupo segundo.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Factoriza o termo común x-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-3=0 e 5x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$5x^{2}-7x=24$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

Se restas 24 a si mesmo, quédache 0.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 5, b por -7 e c por -24 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -7 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -4 por 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -20 por -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

Suma 49 a 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Obtén a raíz cadrada de 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

O contrario de -7 é 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

Multiplica 2 por 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{7±23}{10} se ± é máis. Suma 7 a 23.

$$x=\frac{30}{10}$$

Divide 30 entre 10.

$$x=3$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{7±23}{10} se ± é menos. Resta 23 de 7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Reduce a fracción \frac{-16}{10} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

A ecuación está resolta.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x=24$$

Divide ambos lados entre 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

A división entre 5 desfai a multiplicación por 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

Divide -\frac{7}{5}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{7}{10}. Despois, suma o cadrado de -\frac{7}{10} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{10} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

Suma \frac{24}{5} a \frac{49}{100} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

Factoriza x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

Suma \frac{7}{10} en ambos lados da ecuación.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$