Resolver 5x^2-24x-68=0

$$5 x ^ { 2 } - 24 x - 68 = 0$$

Resolver x

$$x=-2$$

$$x = \frac{34}{5} = 6\frac{4}{5} = 6.8$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 5x^{2}+ax+bx-68. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-24 ab=5\left(-68\right)=-340$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -340.

$$1,-340 2,-170 4,-85 5,-68 10,-34 17,-20$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-340=-339 2-170=-168 4-85=-81 5-68=-63 10-34=-24 17-20=-3$$

A solución é a parella que fornece a suma -24.

$$a=-34 b=10$$

Reescribe 5x^{2}-24x-68 como \left(5x^{2}-34x\right)+\left(10x-68\right).

$$\left(5x^{2}-34x\right)+\left(10x-68\right)$$

Factoriza x no primeiro e 2 no grupo segundo.

$$x\left(5x-34\right)+2\left(5x-34\right)$$

Factoriza o termo común 5x-34 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(5x-34\right)\left(x+2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 5x-34=0 e x+2=0.

$$x=\frac{34}{5} x=-2$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$5x^{2}-24x-68=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 5, b por -24 e c por -68 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 5\left(-68\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -24 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 5\left(-68\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -4 por 5.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-20\left(-68\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -20 por -68.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+1360}}{2\times 5}$$

Suma 576 a 1360.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1936}}{2\times 5}$$

Obtén a raíz cadrada de 1936.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±44}{2\times 5}$$

O contrario de -24 é 24.

$$x=\frac{24±44}{2\times 5}$$

Multiplica 2 por 5.

$$x=\frac{24±44}{10}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{24±44}{10} se ± é máis. Suma 24 a 44.

$$x=\frac{68}{10}$$

Reduce a fracción \frac{68}{10} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{34}{5}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{24±44}{10} se ± é menos. Resta 44 de 24.

$$x=-\frac{20}{10}$$

Divide -20 entre 10.

$$x=-2$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{34}{5} x=-2$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-24x-68=0$$

Suma 68 en ambos lados da ecuación.

$$5x^{2}-24x-68-\left(-68\right)=-\left(-68\right)$$

Se restas -68 a si mesmo, quédache 0.

$$5x^{2}-24x=-\left(-68\right)$$

Resta -68 de 0.

$$5x^{2}-24x=68$$

Divide ambos lados entre 5.

$$\frac{5x^{2}-24x}{5}=\frac{68}{5}$$

A división entre 5 desfai a multiplicación por 5.

$$x^{2}-\frac{24}{5}x=\frac{68}{5}$$

Divide -\frac{24}{5}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{12}{5}. Despois, suma o cadrado de -\frac{12}{5} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\left(-\frac{12}{5}\right)^{2}=\frac{68}{5}+\left(-\frac{12}{5}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{12}{5} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}=\frac{68}{5}+\frac{144}{25}$$

Suma \frac{68}{5} a \frac{144}{25} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}=\frac{484}{25}$$

Factoriza x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{12}{5}\right)^{2}=\frac{484}{25}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{12}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{484}{25}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{12}{5}=\frac{22}{5} x-\frac{12}{5}=-\frac{22}{5}$$

Suma \frac{12}{5} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{34}{5} x=-2$$