Resolver 5x^2+70x-75=0

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

Resolver x

$$x=-15$$

$$x=1$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Divide ambos lados entre 5.

$$x^{2}+14x-15=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx-15. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -15.

$$-1,15 -3,5$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

A solución é a parella que fornece a suma 14.

$$a=-1 b=15$$

Reescribe x^{2}+14x-15 como \left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

Factoriza x no primeiro e 15 no grupo segundo.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

Factoriza o termo común x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-1=0 e x+15=0.

$$x=1 x=-15$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 5, b por 70 e c por -75 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Eleva 70 ao cadrado.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -4 por 5.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -20 por -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

Suma 4900 a 1500.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Obtén a raíz cadrada de 6400.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

Multiplica 2 por 5.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-70±80}{10} se ± é máis. Suma -70 a 80.

$$x=\frac{10}{10}$$

Divide 10 entre 10.

$$x=1$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-70±80}{10} se ± é menos. Resta 80 de -70.

$$x=-\frac{150}{10}$$

Divide -150 entre 10.

$$x=-15$$

A ecuación está resolta.

$$x=1 x=-15$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Suma 75 en ambos lados da ecuación.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Se restas -75 a si mesmo, quédache 0.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

Resta -75 de 0.

$$5x^{2}+70x=75$$

Divide ambos lados entre 5.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

A división entre 5 desfai a multiplicación por 5.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

Divide 70 entre 5.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

Divide 75 entre 5.

$$x^{2}+14x=15$$

Divide 14, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter 7. Despois, suma o cadrado de 7 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

Eleva 7 ao cadrado.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

Suma 15 a 49.

$$x^{2}+14x+49=64$$

Factoriza x^{2}+14x+49. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Simplifica.

$$x+7=8 x+7=-8$$

Resta 7 en ambos lados da ecuación.

$$x=1 x=-15$$