Resolver 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

Resolver x

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 5x^{2}+ax+bx+4. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

A solución é a parella que fornece a suma 21.

$$a=1 b=20$$

Reescribe 5x^{2}+21x+4 como \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

Factoriza x no primeiro e 4 no grupo segundo.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

Factoriza o termo común 5x+1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 5x+1=0 e x+4=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 5, b por 21 e c por 4 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Eleva 21 ao cadrado.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Multiplica -4 por 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

Multiplica -20 por 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

Suma 441 a -80.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Obtén a raíz cadrada de 361.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

Multiplica 2 por 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-21±19}{10} se ± é máis. Suma -21 a 19.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Reduce a fracción \frac{-2}{10} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-21±19}{10} se ± é menos. Resta 19 de -21.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Divide -40 entre 10.

$$x=-4$$

A ecuación está resolta.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

Se restas 4 a si mesmo, quédache 0.

$$5x^{2}+21x=-4$$

Divide ambos lados entre 5.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

A división entre 5 desfai a multiplicación por 5.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Divide \frac{21}{5}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{21}{10}. Despois, suma o cadrado de \frac{21}{10} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

Eleva \frac{21}{10} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

Suma -\frac{4}{5} a \frac{441}{100} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

Factoriza x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

Resta \frac{21}{10} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$