Resolver 5x^2+12x+7=0

$$5 x ^ { 2 } + 12 x + 7 = 0$$

Resolver x

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$x=-1$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 5x^{2}+ax+bx+7. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=12 ab=5\times 7=35$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 35.

$$1,35 5,7$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+35=36 5+7=12$$

A solución é a parella que fornece a suma 12.

$$a=5 b=7$$

Reescribe 5x^{2}+12x+7 como \left(5x^{2}+5x\right)+\left(7x+7\right).

$$\left(5x^{2}+5x\right)+\left(7x+7\right)$$

Factoriza 5x no primeiro e 7 no grupo segundo.

$$5x\left(x+1\right)+7\left(x+1\right)$$

Factoriza o termo común x+1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x+1\right)\left(5x+7\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x+1=0 e 5x+7=0.

$$x=-1 x=-\frac{7}{5}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$5x^{2}+12x+7=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 5, b por 12 e c por 7 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Eleva 12 ao cadrado.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Multiplica -4 por 5.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-20\times 7}}{2\times 5}$$

Multiplica -20 por 7.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-140}}{2\times 5}$$

Suma 144 a -140.

$$x=\frac{-12±\sqrt{4}}{2\times 5}$$

Obtén a raíz cadrada de 4.

$$x=\frac{-12±2}{2\times 5}$$

Multiplica 2 por 5.

$$x=\frac{-12±2}{10}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-12±2}{10} se ± é máis. Suma -12 a 2.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Divide -10 entre 10.

$$x=-1$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-12±2}{10} se ± é menos. Resta 2 de -12.

$$x=-\frac{14}{10}$$

Reduce a fracción \frac{-14}{10} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{7}{5}$$

A ecuación está resolta.

$$x=-1 x=-\frac{7}{5}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+12x+7=0$$

Resta 7 en ambos lados da ecuación.

$$5x^{2}+12x+7-7=-7$$

Se restas 7 a si mesmo, quédache 0.

$$5x^{2}+12x=-7$$

Divide ambos lados entre 5.

$$\frac{5x^{2}+12x}{5}=-\frac{7}{5}$$

A división entre 5 desfai a multiplicación por 5.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=-\frac{7}{5}$$

Divide \frac{12}{5}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{6}{5}. Despois, suma o cadrado de \frac{6}{5} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Eleva \frac{6}{5} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=-\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

Suma -\frac{7}{5} a \frac{36}{25} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{1}{25}$$

Factoriza x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{1}{25}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{25}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{1}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{1}{5}$$

Resta \frac{6}{5} en ambos lados da ecuación.

$$x=-1 x=-\frac{7}{5}$$