Resolver 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Resolver y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17.378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0.621455974$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 5, b por -90 e c por 54 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Eleva -90 ao cadrado.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Multiplica -4 por 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Multiplica -20 por 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Suma 8100 a -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Obtén a raíz cadrada de 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

O contrario de -90 é 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Multiplica 2 por 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} se ± é máis. Suma 90 a 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Divide 90+6\sqrt{195} entre 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} se ± é menos. Resta 6\sqrt{195} de 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Divide 90-6\sqrt{195} entre 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

A ecuación está resolta.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Resta 54 en ambos lados da ecuación.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Se restas 54 a si mesmo, quédache 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Divide ambos lados entre 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

A división entre 5 desfai a multiplicación por 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Divide -90 entre 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Divide -18, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -9. Despois, suma o cadrado de -9 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Eleva -9 ao cadrado.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Suma -\frac{54}{5} a 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Factoriza y^{2}-18y+81. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Simplifica.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Suma 9 en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$