Resolver 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Resolver x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=7$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 5x^{2}+ax+bx-42. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -29.

$$a=-35 b=6$$

Reescribe 5x^{2}-29x-42 como \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Factoriza 5x no primeiro e 6 no grupo segundo.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Factoriza o termo común x-7 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-7=0 e 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 5, b por -29 e c por -42 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Eleva -29 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -4 por 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -20 por -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Suma 841 a 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Obtén a raíz cadrada de 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

O contrario de -29 é 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Multiplica 2 por 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{29±41}{10} se ± é máis. Suma 29 a 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Divide 70 entre 10.

$$x=7$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{29±41}{10} se ± é menos. Resta 41 de 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Reduce a fracción \frac{-12}{10} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

A ecuación está resolta.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Suma 42 en ambos lados da ecuación.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Se restas -42 a si mesmo, quédache 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Resta -42 de 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Divide ambos lados entre 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

A división entre 5 desfai a multiplicación por 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Divide -\frac{29}{5}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{29}{10}. Despois, suma o cadrado de -\frac{29}{10} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{29}{10} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Suma \frac{42}{5} a \frac{841}{100} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Factoriza x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Suma \frac{29}{10} en ambos lados da ecuación.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$