Resolver 49t^2-147t-196=0

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

Resolver t

$$t=-1$$

$$t=4$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Divide ambos lados entre 49.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como t^{2}+at+bt-4. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -4.

$$1,-4 2,-2$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-4=-3 2-2=0$$

A solución é a parella que fornece a suma -3.

$$a=-4 b=1$$

Reescribe t^{2}-3t-4 como \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right).

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Factorizar t en t^{2}-4t.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Factoriza o termo común t-4 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve t-4=0 e t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 49, b por -147 e c por -196 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Eleva -147 ao cadrado.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Multiplica -4 por 49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Multiplica -196 por -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

Suma 21609 a 38416.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

Obtén a raíz cadrada de 60025.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

O contrario de -147 é 147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

Multiplica 2 por 49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{147±245}{98} se ± é máis. Suma 147 a 245.

$$t=\frac{392}{98}$$

Divide 392 entre 98.

$$t=4$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{147±245}{98} se ± é menos. Resta 245 de 147.

$$t=-\frac{98}{98}$$

Divide -98 entre 98.

$$t=-1$$

A ecuación está resolta.

$$t=4 t=-1$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Suma 196 en ambos lados da ecuación.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

Se restas -196 a si mesmo, quédache 0.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

Resta -196 de 0.

$$49t^{2}-147t=196$$

Divide ambos lados entre 49.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

A división entre 49 desfai a multiplicación por 49.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

Divide -147 entre 49.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

Divide 196 entre 49.

$$t^{2}-3t=4$$

Divide -3, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{3}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{3}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Suma 4 a \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Factoriza t^{2}-3t+\frac{9}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplifica.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Suma \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$t=4 t=-1$$