Resolver 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Resolver x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 42x^{2}+ax+bx-3. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

A solución é a parella que fornece a suma -5.

$$a=-14 b=9$$

Reescribe 42x^{2}-5x-3 como \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Factoriza 14x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Factoriza o termo común 3x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 3x-1=0 e 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 42, b por -5 e c por -3 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Eleva -5 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Multiplica -4 por 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Multiplica -168 por -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Suma 25 a 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Obtén a raíz cadrada de 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

O contrario de -5 é 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Multiplica 2 por 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{5±23}{84} se ± é máis. Suma 5 a 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Reduce a fracción \frac{28}{84} a termos máis baixos extraendo e cancelando 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{5±23}{84} se ± é menos. Resta 23 de 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Reduce a fracción \frac{-18}{84} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Se restas -3 a si mesmo, quédache 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Resta -3 de 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Divide ambos lados entre 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

A división entre 42 desfai a multiplicación por 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Reduce a fracción \frac{3}{42} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Divide -\frac{5}{42}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{5}{84}. Despois, suma o cadrado de -\frac{5}{84} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{84} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Suma \frac{1}{14} a \frac{25}{7056} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Factoriza x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Suma \frac{5}{84} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$