Resolver 40x^2-71x+21

$$40 { x }^{ 2 } -71x+21$$

Factorizar

$$\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 40x^{2}+ax+bx+21. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-71 ab=40\times 21=840$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 840.

$$-1,-840 -2,-420 -3,-280 -4,-210 -5,-168 -6,-140 -7,-120 -8,-105 -10,-84 -12,-70 -14,-60 -15,-56 -20,-42 -21,-40 -24,-35 -28,-30$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-840=-841 -2-420=-422 -3-280=-283 -4-210=-214 -5-168=-173 -6-140=-146 -7-120=-127 -8-105=-113 -10-84=-94 -12-70=-82 -14-60=-74 -15-56=-71 -20-42=-62 -21-40=-61 -24-35=-59 -28-30=-58$$

A solución é a parella que fornece a suma -71.

$$a=-56 b=-15$$

Reescribe 40x^{2}-71x+21 como \left(40x^{2}-56x\right)+\left(-15x+21\right).

$$\left(40x^{2}-56x\right)+\left(-15x+21\right)$$

Factoriza 8x no primeiro e -3 no grupo segundo.

$$8x\left(5x-7\right)-3\left(5x-7\right)$$

Factoriza o termo común 5x-7 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$40x^{2}-71x+21=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±\sqrt{\left(-71\right)^{2}-4\times 40\times 21}}{2\times 40}$$

Eleva -71 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±\sqrt{5041-4\times 40\times 21}}{2\times 40}$$

Multiplica -4 por 40.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±\sqrt{5041-160\times 21}}{2\times 40}$$

Multiplica -160 por 21.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±\sqrt{5041-3360}}{2\times 40}$$

Suma 5041 a -3360.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±\sqrt{1681}}{2\times 40}$$

Obtén a raíz cadrada de 1681.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±41}{2\times 40}$$

O contrario de -71 é 71.

$$x=\frac{71±41}{2\times 40}$$

Multiplica 2 por 40.

$$x=\frac{71±41}{80}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{71±41}{80} se ± é máis. Suma 71 a 41.

$$x=\frac{112}{80}$$

Reduce a fracción \frac{112}{80} a termos máis baixos extraendo e cancelando 16.

$$x=\frac{7}{5}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{71±41}{80} se ± é menos. Resta 41 de 71.

$$x=\frac{30}{80}$$

Reduce a fracción \frac{30}{80} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$x=\frac{3}{8}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{7}{5} por x_{1} e \frac{3}{8} por x_{2}.

$$40x^{2}-71x+21=40\left(x-\frac{7}{5}\right)\left(x-\frac{3}{8}\right)$$

Resta \frac{7}{5} de x mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$40x^{2}-71x+21=40\times \frac{5x-7}{5}\left(x-\frac{3}{8}\right)$$

Resta \frac{3}{8} de x mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$40x^{2}-71x+21=40\times \frac{5x-7}{5}\times \frac{8x-3}{8}$$

Multiplica \frac{5x-7}{5} por \frac{8x-3}{8} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$40x^{2}-71x+21=40\times \frac{\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)}{5\times 8}$$

Multiplica 5 por 8.

$$40x^{2}-71x+21=40\times \frac{\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)}{40}$$

Descarta o máximo común divisor 40 en 40 e 40.

$$40x^{2}-71x+21=\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Calcular

$$\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)$$