Resolver 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Resolver x

$$x=\frac{1}{10}=0.1$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 40x^{2}+ax+bx+1. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

A solución é a parella que fornece a suma -14.

$$a=-10 b=-4$$

Reescribe 40x^{2}-14x+1 como \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Factoriza 10x no primeiro e -1 no grupo segundo.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Factoriza o termo común 4x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 4x-1=0 e 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 40, b por -14 e c por 1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Eleva -14 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Multiplica -4 por 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Suma 196 a -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Obtén a raíz cadrada de 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

O contrario de -14 é 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Multiplica 2 por 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{14±6}{80} se ± é máis. Suma 14 a 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Reduce a fracción \frac{20}{80} a termos máis baixos extraendo e cancelando 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{14±6}{80} se ± é menos. Resta 6 de 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Reduce a fracción \frac{8}{80} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Se restas 1 a si mesmo, quédache 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Divide ambos lados entre 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

A división entre 40 desfai a multiplicación por 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Reduce a fracción \frac{-14}{40} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Divide -\frac{7}{20}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{7}{40}. Despois, suma o cadrado de -\frac{7}{40} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{40} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Suma -\frac{1}{40} a \frac{49}{1600} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Factoriza x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Suma \frac{7}{40} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$