Resolver 4y^2-9y+2=0

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

Resolver y

$$y=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y=2$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 4y^{2}+ay+by+2. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

A solución é a parella que fornece a suma -9.

$$a=-8 b=-1$$

Reescribe 4y^{2}-9y+2 como \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right).

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

Factoriza 4y no primeiro e -1 no grupo segundo.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

Factoriza o termo común y-2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve y-2=0 e 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por -9 e c por 2 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Eleva -9 ao cadrado.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Suma 81 a -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 49.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

O contrario de -9 é 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{9±7}{8} se ± é máis. Suma 9 a 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

Divide 16 entre 8.

$$y=2$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{9±7}{8} se ± é menos. Resta 7 de 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

Reduce a fracción \frac{2}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$y=\frac{1}{4}$$

A ecuación está resolta.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

Se restas 2 a si mesmo, quédache 0.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

Reduce a fracción \frac{-2}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Divide -\frac{9}{4}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{9}{8}. Despois, suma o cadrado de -\frac{9}{8} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{9}{8} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Suma -\frac{1}{2} a \frac{81}{64} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Factoriza y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Simplifica.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Suma \frac{9}{8} en ambos lados da ecuación.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$