Resolver 4y^2-7y+1=0

$$4 y ^ { 2 } - 7 y + 1 = 0$$

Resolver y

$$y = \frac{\sqrt{33} + 7}{8} \approx 1.593070331$$

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}\approx 0.156929669$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por -7 e c por 1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Eleva -7 ao cadrado.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16}}{2\times 4}$$

Suma 49 a -16.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

O contrario de -7 é 7.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} se ± é máis. Suma 7 a \sqrt{33}.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} se ± é menos. Resta \sqrt{33} de 7.

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

A ecuación está resolta.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$4y^{2}-7y+1-1=-1$$

Se restas 1 a si mesmo, quédache 0.

$$4y^{2}-7y=-1$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4y^{2}-7y}{4}=-\frac{1}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Divide -\frac{7}{4}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{7}{8}. Despois, suma o cadrado de -\frac{7}{8} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{8} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Suma -\frac{1}{4} a \frac{49}{64} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=\frac{33}{64}$$

Factoriza y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{33}{64}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{64}}$$

Simplifica.

$$y-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{33}}{8} y-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{33}}{8}$$

Suma \frac{7}{8} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$