Resolver 4y^2-24y+27

$$4 y ^ { 2 } - 24 y + 27$$

Factorizar

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 4y^{2}+ay+by+27. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-24 ab=4\times 27=108$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 108.

$$-1,-108 -2,-54 -3,-36 -4,-27 -6,-18 -9,-12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-108=-109 -2-54=-56 -3-36=-39 -4-27=-31 -6-18=-24 -9-12=-21$$

A solución é a parella que fornece a suma -24.

$$a=-18 b=-6$$

Reescribe 4y^{2}-24y+27 como \left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right).

$$\left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right)$$

Factoriza 2y no primeiro e -3 no grupo segundo.

$$2y\left(2y-9\right)-3\left(2y-9\right)$$

Factoriza o termo común 2y-9 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-24y+27=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Eleva -24 ao cadrado.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-16\times 27}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por 27.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 4}$$

Suma 576 a -432.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 144.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 4}$$

O contrario de -24 é 24.

$$y=\frac{24±12}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$y=\frac{24±12}{8}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{24±12}{8} se ± é máis. Suma 24 a 12.

$$y=\frac{36}{8}$$

Reduce a fracción \frac{36}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$y=\frac{9}{2}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{24±12}{8} se ± é menos. Resta 12 de 24.

$$y=\frac{12}{8}$$

Reduce a fracción \frac{12}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{9}{2} por x_{1} e \frac{3}{2} por x_{2}.

$$4y^{2}-24y+27=4\left(y-\frac{9}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Resta \frac{9}{2} de y mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Resta \frac{3}{2} de y mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\times \frac{2y-3}{2}$$

Multiplica \frac{2y-9}{2} por \frac{2y-3}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{4}$$

Descarta o máximo común divisor 4 en 4 e 4.

$$4y^{2}-24y+27=\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Calcular

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$