Resolver 4y^2-12y+9

$$4 y ^ { 2 } - 12 y + 9$$

Factorizar

$$\left(2y-3\right)^{2}$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 4y^{2}+ay+by+9. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

A solución é a parella que fornece a suma -12.

$$a=-6 b=-6$$

Reescribe 4y^{2}-12y+9 como \left(4y^{2}-6y\right)+\left(-6y+9\right).

$$\left(4y^{2}-6y\right)+\left(-6y+9\right)$$

Factoriza 2y no primeiro e -3 no grupo segundo.

$$2y\left(2y-3\right)-3\left(2y-3\right)$$

Factoriza o termo común 2y-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2y-3\right)\left(2y-3\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(2y-3\right)^{2}$$

Pasos que usan cadrado de binomial

Este trinomio ten a forma dun cadrado de trinomio, quizais multiplicado por un factor común. Os cadrados de trinomio pódense factorizar mediante o cálculo das raíces cadradas dos termos primeiro e último.

$$factor(4y^{2}-12y+9)$$

Obtén o máximo común divisor dos coeficientes.

$$gcf(4,-12,9)=1$$

Obtén a raíz cadrada do primeiro termo, 4y^{2}.

$$\sqrt{4y^{2}}=2y$$

Obtén a raíz cadrada do último termo, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

O cadrado de trinomio é o cadrado de binomio que é a suma ou a diferenza das raíces cadradas dos termos primeiro e último, co signo determinado polo signo do termo central do cadrado de trinomio.

$$\left(2y-3\right)^{2}$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-12y+9=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Eleva -12 ao cadrado.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Suma 144 a -144.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±0}{2\times 4}$$

O contrario de -12 é 12.

$$y=\frac{12±0}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$y=\frac{12±0}{8}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{3}{2} por x_{1} e \frac{3}{2} por x_{2}.

$$4y^{2}-12y+9=4\left(y-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Resta \frac{3}{2} de y mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$4y^{2}-12y+9=4\times \frac{2y-3}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Resta \frac{3}{2} de y mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$4y^{2}-12y+9=4\times \frac{2y-3}{2}\times \frac{2y-3}{2}$$

Multiplica \frac{2y-3}{2} por \frac{2y-3}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$4y^{2}-12y+9=4\times \frac{\left(2y-3\right)\left(2y-3\right)}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$4y^{2}-12y+9=4\times \frac{\left(2y-3\right)\left(2y-3\right)}{4}$$

Descarta o máximo común divisor 4 en 4 e 4.

$$4y^{2}-12y+9=\left(2y-3\right)\left(2y-3\right)$$

Calcular

$$\left(2y-3\right)^{2}$$