Resolver 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-y=5$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$4x=y+5$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Substitúe x por \frac{5+y}{4} na outra ecuación, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Multiplica -4 por \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Suma -y a 5y.

$$4y-5=7$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$4y=12$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Multiplica \frac{1}{4} por 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Suma \frac{5}{4} a \frac{3}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Para que 4x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Simplifica.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Resta -16x+20y=28 de -16x+4y=-20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Suma -16x a 16x. -16x e 16x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-20y=-20-28$$

Suma 4y a -20y.

$$-16y=-20-28$$

Suma -20 a -28.

$$-16y=-48$$

Divide ambos lados entre -16.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en -4x+5y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x+5\times 3=7$$

Multiplica 5 por 3.

$$-4x+15=7$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-8$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=3$$