Resolver 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-5y=2$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$4x=5y+2$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} na outra ecuación, x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Suma \frac{5y}{4} a 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{45}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{18}{5}$$

Substitúe y por \frac{18}{5} en x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Multiplica \frac{5}{4} por \frac{18}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a \frac{9}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Para que 4x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Simplifica.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Resta 4x+40y=164 de 4x-5y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-5y-40y=2-164$$

Suma -5y a -40y.

$$-45y=2-164$$

Suma 2 a -164.

$$-45y=-162$$

Divide ambos lados entre -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

Substitúe y por \frac{18}{5} en x+10y=41. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Multiplica 10 por \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Resta 36 en ambos lados da ecuación.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$