Resolver 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-3y=2$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=3y+2$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} na outra ecuación, x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Suma \frac{3y}{4} a 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{23}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Multiplica \frac{3}{4} por -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a -\frac{3}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Para que 4x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Simplifica.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Resta 4x+20y=-44 de 4x-3y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y-20y=2+44$$

Suma -3y a -20y.

$$-23y=2+44$$

Suma 2 a 44.

$$-23y=46$$

Divide ambos lados entre -23.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x+5y=-11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Multiplica 5 por -2.

$$x-10=-11$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-2$$