Resolver 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Resolver x

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=1$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 4x^{2}+ax+bx+1. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

A solución é a parella que fornece a suma -5.

$$a=-4 b=-1$$

Reescribe 4x^{2}-5x+1 como \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

Factoriza 4x no primeiro e -1 no grupo segundo.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Factoriza o termo común x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-1=0 e 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por -5 e c por 1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Eleva -5 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Suma 25 a -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

O contrario de -5 é 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{5±3}{8} se ± é máis. Suma 5 a 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

Divide 8 entre 8.

$$x=1$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{5±3}{8} se ± é menos. Resta 3 de 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

Reduce a fracción \frac{2}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

A ecuación está resolta.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Se restas 1 a si mesmo, quédache 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Divide -\frac{5}{4}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{5}{8}. Despois, suma o cadrado de -\frac{5}{8} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{8} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Suma -\frac{1}{4} a \frac{25}{64} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Factoriza x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Suma \frac{5}{8} en ambos lados da ecuación.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$