Resolver 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Resolver x

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 4x^{2}+ax+bx+1. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

A solución é a parella que fornece a suma -4.

$$a=-2 b=-2$$

Reescribe 4x^{2}-4x+1 como \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e -1 no grupo segundo.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Factoriza o termo común 2x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Para atopar a solución de ecuación, resolve 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por -4 e c por 1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Eleva -4 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Suma 16 a -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

O contrario de -4 é 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Reduce a fracción \frac{4}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Se restas 1 a si mesmo, quédache 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Divide -4 entre 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Divide -1, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Suma -\frac{1}{4} a \frac{1}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Factoriza x^{2}-x+\frac{1}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Suma \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$x=\frac{1}{2}$$