Resolver 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Resolver x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 4x^{2}+ax+bx-27. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

A solución é a parella que fornece a suma -12.

$$a=-18 b=6$$

Reescribe 4x^{2}-12x-27 como \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Factoriza o termo común 2x-9 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2x-9=0 e 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por -12 e c por -27 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -12 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Suma 144 a 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

O contrario de -12 é 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{12±24}{8} se ± é máis. Suma 12 a 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Reduce a fracción \frac{36}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{12±24}{8} se ± é menos. Resta 24 de 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Reduce a fracción \frac{-12}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Suma 27 en ambos lados da ecuación.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Se restas -27 a si mesmo, quédache 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Resta -27 de 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Divide -12 entre 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Divide -3, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{3}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{3}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Suma \frac{27}{4} a \frac{9}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Factoriza x^{2}-3x+\frac{9}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplifica.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Suma \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$