Resolver 4x^2-12x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 = 0$$

Resolver x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 4x^{2}+ax+bx+9. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

A solución é a parella que fornece a suma -12.

$$a=-6 b=-6$$

Reescribe 4x^{2}-12x+9 como \left(4x^{2}-6x\right)+\left(-6x+9\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(-6x+9\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e -3 no grupo segundo.

$$2x\left(2x-3\right)-3\left(2x-3\right)$$

Factoriza o termo común 2x-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(2x-3\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(2x-3\right)^{2}$$

Para atopar a solución de ecuación, resolve 2x-3=0.

$$x=\frac{3}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4x^{2}-12x+9=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por -12 e c por 9 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Eleva -12 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Suma 144 a -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 4}$$

O contrario de -12 é 12.

$$x=\frac{12}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{12}{8}$$

Reduce a fracción \frac{12}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x+9=0$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$4x^{2}-12x+9-9=-9$$

Se restas 9 a si mesmo, quédache 0.

$$4x^{2}-12x=-9$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=-\frac{9}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Divide -12 entre 4.

$$x^{2}-3x=-\frac{9}{4}$$

Divide -3, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{3}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{3}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Suma -\frac{9}{4} a \frac{9}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=0$$

Factoriza x^{2}-3x+\frac{9}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$x-\frac{3}{2}=0 x-\frac{3}{2}=0$$

Suma \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$x=\frac{3}{2}$$