Resolver 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Resolver x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 4x^{2}+ax+bx-81. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

A solución é a parella que fornece a suma 48.

$$a=-6 b=54$$

Reescribe 4x^{2}+48x-81 como \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 27 no grupo segundo.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Factoriza o termo común 2x-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2x-3=0 e 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por 48 e c por -81 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 48 ao cadrado.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Suma 2304 a 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-48±60}{8} se ± é máis. Suma -48 a 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Reduce a fracción \frac{12}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-48±60}{8} se ± é menos. Resta 60 de -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Reduce a fracción \frac{-108}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Suma 81 en ambos lados da ecuación.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Se restas -81 a si mesmo, quédache 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Resta -81 de 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Divide 48 entre 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Divide 12, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter 6. Despois, suma o cadrado de 6 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Eleva 6 ao cadrado.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Suma \frac{81}{4} a 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Factoriza x^{2}+12x+36. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Simplifica.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$