Resolver 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Resolver x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0.5+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.414213562i$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por 4 e c por 9 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Eleva 4 ao cadrado.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Suma 16 a -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} se ± é máis. Suma -4 a 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Divide -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} entre 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} se ± é menos. Resta 8i\sqrt{2} de -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Divide -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} entre 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Se restas 9 a si mesmo, quédache 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Divide 4 entre 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Divide 1, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Suma -\frac{9}{4} a \frac{1}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Factoriza x^{2}+x+\frac{1}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Simplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$