Resolver 4x^2+28x+40=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 40 = 0$$

Resolver x

$$x=-5$$

$$x=-2$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Divide ambos lados entre 4.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx+10. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=7 ab=1\times 10=10$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 10.

$$1,10 2,5$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+10=11 2+5=7$$

A solución é a parella que fornece a suma 7.

$$a=2 b=5$$

Reescribe x^{2}+7x+10 como \left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)$$

Factoriza x no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)$$

Factoriza o termo común x+2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x+2=0 e x+5=0.

$$x=-2 x=-5$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por 28 e c por 40 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Eleva 28 ao cadrado.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por 40.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Suma 784 a -640.

$$x=\frac{-28±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 144.

$$x=\frac{-28±12}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{-28±12}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-28±12}{8} se ± é máis. Suma -28 a 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Divide -16 entre 8.

$$x=-2$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-28±12}{8} se ± é menos. Resta 12 de -28.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Divide -40 entre 8.

$$x=-5$$

A ecuación está resolta.

$$x=-2 x=-5$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Resta 40 en ambos lados da ecuación.

$$4x^{2}+28x+40-40=-40$$

Se restas 40 a si mesmo, quédache 0.

$$4x^{2}+28x=-40$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{40}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{40}{4}$$

Divide 28 entre 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{40}{4}$$

Divide -40 entre 4.

$$x^{2}+7x=-10$$

Divide 7, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{7}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{7}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Suma -10 a \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Factoriza x^{2}+7x+\frac{49}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Resta \frac{7}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=-2 x=-5$$