Resolver 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Resolver n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 11 en ambos lados.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 4n^{2}+an+bn-11. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

A solución é a parella que fornece a suma -7.

$$a=-11 b=4$$

Reescribe 4n^{2}-7n-11 como \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Factorizar n en 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Factoriza o termo común 4n-11 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 4n-11=0 e n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4n^{2}-7n=11$$

Resta 11 en ambos lados da ecuación.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Se restas 11 a si mesmo, quédache 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por -7 e c por -11 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -7 ao cadrado.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Suma 49 a 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

O contrario de -7 é 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{7±15}{8} se ± é máis. Suma 7 a 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Reduce a fracción \frac{22}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{7±15}{8} se ± é menos. Resta 15 de 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Divide -8 entre 8.

$$n=-1$$

A ecuación está resolta.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Divide -\frac{7}{4}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{7}{8}. Despois, suma o cadrado de -\frac{7}{8} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{8} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Suma \frac{11}{4} a \frac{49}{64} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Factoriza n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Simplifica.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Suma \frac{7}{8} en ambos lados da ecuación.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$